Corta las berenjenas en dados de 2 cm. Si son grandes o tienen muchas semillas, mézclalas con 1/2 cucharadita de sal y déjalas reposar 20 minutos. Enjuágalas, sécalas muy bien y reserva.
Calienta 30 ml de aceite en una cazuela amplia a fuego medio-alto. Cocina la berenjena en una sola capa, en una o dos tandas, durante 8 a 10 minutos, hasta que esté dorada por varias caras y tierna al pincharla. Retírala a un plato.
Añade el aceite restante a la cazuela y sofríe la cebolla y el apio durante 7 a 8 minutos, hasta que la cebolla pierda su olor crudo y el apio empiece a ablandarse. Incorpora el ajo y cocina 30 segundos, sin dejar que se queme.
Agrega los tomates triturados y los tomates picados. Cocina a fuego medio durante 10 a 12 minutos, removiendo de vez en cuando, hasta que la mezcla se vea más espesa y el líquido no cubra el fondo de la cazuela.
Devuelve la berenjena a la cazuela y añade las aceitunas, las alcaparras, el azúcar, el vinagre, la sal y la pimienta. Remueve con suavidad para no romper los dados y cocina durante 8 minutos, hasta que la salsa quede brillante y se adhiera a las verduras.
Apaga el fuego, incorpora la albahaca si la usas y deja reposar la caponata 10 minutos destapada. Prueba y ajusta la sal, el azúcar o el vinagre antes de servirla tibia o a temperatura ambiente.