Seca las piezas de conejo y sazónalas con la mitad de la sal y toda la pimienta. Calienta el aceite en una cazuela amplia y un poco honda a fuego medio-alto. Dora el conejo por tandas durante 3 o 4 minutos por cada lado, hasta que tome color, y retíralo a un plato.
Baja el fuego a medio y añade la cebolla a la misma cazuela. Cocínala durante 8 minutos, removiendo, hasta que esté blanda y ligeramente dorada. Incorpora el ajo y cocina 1 minuto más, sin dejar que se queme.
Vuelve a poner el conejo en la cazuela y vierte el cava. Raspa el fondo con una cuchara de madera y deja hervir 5 minutos para que se reduzca parte del alcohol. Añade el caldo, el laurel, el tomillo, los clavos y la nuez moscada.
Cuando el líquido comience a hervir, tapa la cazuela dejando una pequeña abertura y cocina a fuego bajo durante 55 o 60 minutos. Da la vuelta a las piezas a mitad de la cocción y comprueba que el líquido llegue aproximadamente a un tercio de la altura de la carne. El conejo estará listo cuando un tenedor atraviese con facilidad la parte más gruesa.
Retira el conejo cuando esté tierno y desecha el laurel y los clavos. Prueba la salsa y añade el resto de la sal solo si hace falta. Si está muy líquida, hiérvela destapada durante 5 u 8 minutos, hasta que cubra ligeramente el dorso de una cuchara. Devuelve el conejo a la cazuela, caliéntalo 2 minutos y déjalo reposar 5 minutos antes de servir.