Coloca el mondongo en una olla con el agua, media cebolla, un diente de ajo, la zanahoria y el laurel. Lleva a ebullición, retira la espuma, tapa y cocina a fuego medio-bajo durante 1 hora y 30 minutos a 2 horas, hasta que esté tierno al pincharlo. Reserva 500 ml del caldo y escurre el mondongo.
Deja reposar el mondongo hasta que puedas manipularlo y córtalo en tiras de aproximadamente 1 cm de ancho. Desecha la zanahoria y la cebolla de la cocción, y conserva el laurel solo si deseas incorporarlo de nuevo al guiso.
Calienta el aceite en una olla amplia y cocina la media cebolla restante durante 5 a 6 minutos, hasta que esté transparente y haya perdido el olor crudo. Añade el ajo y remueve durante 30 segundos, sin dejar que se dore.
Incorpora la pasta de ají amarillo, el tomate, el comino y el orégano. Cocina de 6 a 8 minutos, removiendo, hasta que el tomate se deshaga y el aceite tome un tono rojizo. Este punto concentra el sabor y evita una salsa con gusto a ají crudo.
Añade las tiras de mondongo y 350 ml del caldo reservado. Mezcla, tapa y cocina a fuego bajo durante 20 minutos. La salsa debe cubrir los callos y verse ligeramente espesa; agrega el resto del caldo solo si se seca antes de tiempo.
Agrega las papas, la sal y la pimienta. Cocina tapado durante 15 a 20 minutos, hasta que puedas atravesar las papas con un cuchillo sin que se deshagan. Remueve levantando el guiso desde el fondo para no romperlas.
Prueba la sazón, corrige la sal y retira del fuego. Deja reposar 5 minutos para que la salsa se asiente, termina con cebollín o perejil y sirve caliente.